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                      了解金融市場維納過程的兩個有趣性質

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                      假設一個遵循維納過程的變量的值z最初是25,時間以年為單位。在1年結束時,變量值正態分布,平均值為25,標準差為1.0。在5年結束時,它是正態分布,平均值為25,標準差為V5,或2.236。我們對未來某一時刻變量值的不確定性(通過其標準差來衡量)隨著我們對未來的展望程度的平方根而增加。

                      在普通的微積分中,通常是從小的變化到極限,當小的變化越來越接近于零。因此,dx = a dt是用來表示Ax - a At在At ->的極限下的符號。國外期貨資料,僅供參考,我們在隨機微積分中也使用類似的符號約定。所以,當我們把dz稱為維納過程時,我們的意思是它具有Az的性質在上面給出的極限At -> 0。

                      圖13.1說明了在接近At - >0極限時z后面的路徑所發生的情況。注意路徑是非常<<鋸齒狀的。這是因為z在時間上的運動的標準差At等于,并且,當At很小時,y/Kt遠大于AL。與y/Kt性質相關的維納過程的兩個有趣性質如下:

                      1.z所跟隨的路徑在任何時間間隔內的期望長度是無限的。

                      2.z的期望次數等于任意時間區間的任意值是無限的。

                      廣義維納過程

                      隨機過程在單位時間內的平均變化稱為漂移率,而在單位時間內的方差稱為方差率。目前開發的基本維納過程dz的漂移率為0,方差率為1.0。漂移率為零意味著z在未來任意時刻的期望值等于其當前值。方差率為1.0,表示z在長度為T的時間間隔內的變化方差等于T?梢杂胐z定義變量x的廣義維納過程為

                      Dx - a dt-\-bdz (13.3)

                      其中a和b是常數。

                      為了理解方程(13.3),需要分別考慮右邊的兩個分量。dt項意味著x在單位時間內的期望漂移率為a。沒有bdz項,方程是dx = a dt,這意味著dx/dt = a,對時間積分,我們得到x0是x在0時刻的值。在長度為T的一段時間內,變量x增加了一定量aT。國外期貨資料,僅供參考,方程(13.3)右邊的bdz項可以被認為是在x后面的路徑上添加了噪聲或可變性。這種噪聲或可變性的量是b乘以一個維納過程。維納過程的單位時間方差為1.0。由此可知,b乘以一個維納過程的單位時間方差為b2。在At的小時間間隔內,x的值Ax的變化由式(13.1)和(13.3)給出,例13.2

                      考慮這樣一種情況,一家公司的現金狀況,以美元衡量,遵循一個廣義的維納過程,每年漂移20美元,方差為每年900美元。最初,現金頭寸是50。在1年結束時,現金頭寸將具有一個正態分布,平均值為70,標準差為900,或30。6個月后,它會有一個正態分布均值為60,標準差為30\/0?5 = 21.21。我們對未來某個時間的現金狀況的不確定性,以其標準差來衡量,隨著我們所看的距離的平方根而增加。請注意,現金狀況可能變為負值。(我們可以把這種情況理解為公司在借款。)

                      伊藤過程

                      我們還可以定義另一種隨機過程,即伊藤過程。這是一個廣義的Wiener過程,其中參數a和b是底層變量x和時間t的值的函數。Ito過程可以用代數形式寫為

                      Dx = t dt + b(x, t) dz (13.4)

                      伊藤過程的期望漂移率和方差率都容易隨時間變化。在t和t + At之間的一個小時間間隔內,變量從%變化到x + Ax,其中

                      △x - a(x, t)At + b(x, t)

                      這個關系涉及到一個小的近似。假設在t到t + at的時間區間內,x的漂移率和方差率保持不變,等于它們在t時刻的值。

                      請注意,方程(13.4)中的過程是馬爾可夫過程,因為x在t時刻的變化只取決于x在t時刻的值,而不是它的歷史。一個非馬爾可夫過程可以定義為等式(13.4)中的A和b依賴于時間t之前的%值。

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